Definición
Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, se llama espacio muestral, y se denota por \(\Omega\).
Definición
El espacio muestral \(\Omega\) se llama discreto si es finito o numerable. Un experimento aleatorio se llama finito (discreto) si su espacio muestral es finito (discreto). El espacio muestral se llama continuo si es un intervalo.
Definición
A los elementos del espacio muestral \(\omega \in \Omega\) se les llaman puntos muestrales o eventualidades.
Definición
Un suceso \(A\) asociado a un experimento es un subconjunto del espacio muestral \(\Omega\), es decir, \(A\) es un evento si y solo si \(A \subseteq \Omega\).
Definición
Un evento simple es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, cada uno de los puntos muestrales.
Ejemplo
Al lanzar un dado, el espacio muestral es \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Si se define el evento \(A\) como \(A\): “obtener un 4”, entonces \(A\) es un evento simple.
Ejemplo
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es \(\Omega = \{\{E,E\},\{C,C\},\{E,C\},\{C,E\}\}\).
Si se define el evento \(A\) como \(A\): “obtener dos escudos”, entonces \(A\) es un evento simple.
Definición
Un evento compuesto es un conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, un conjunto de eventos simples; por lo que es un subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo
Al lanzar un dado, el espacio muestral es \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Si se define el evento \(A\) como \(A\): “obtener un número par”, entonces \(A = \{2,4,6\}\) es un evento compuesto.
Empleando las operaciones de conjuntos con los eventos de \(\Omega\), se pueden obtener otros eventos de \(\Omega\). Por ejemplo, si \(A\) y \(B\) son eventos, entonces:
\(A \cup B\) es el evento “\(A\) o \(B\) o ambos”. \(A \cup B\) se llama la unión de los eventos \(A\) y \(B\).
\(A \cap B\) es el evento “\(A\) y \(B\)”. \(A \cap B\) se denomina la intersección entre los eventos \(A\) y \(B\).
\(\bar{A}\) se llama el complemento de \(A\) y está definido por \(\bar{A} = \Omega - A\).
\(A - B = A \cap \bar{B}\).
Definición
Dos eventos \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes o disjuntos si ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, \(A \cap B = \varnothing\).
Ejemplo
Al lanzar un dado, el espacio muestral es \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Si se definen los eventos \(A\) y \(B\) como \(A\): “obtener un número par” y \(B\): “obtener un número impar”, entonces \(A \cap B = \varnothing\), es decir, son mutuamente excluyentes.
El conjunto potencia de \(A\) es la clase o colección de los subconjuntos de \(A\):
Nota
El conjunto potencia de \(A\) (o conjunto de partes) es el conjunto \(\mathcal{P}(A)\) formado por todos los subconjuntos de \(A\):
\[B \in \mathcal{P}(A) \text{ cuando } B \subseteq A\]
Ejemplos
\[\mathcal{P}(A) = \{\varnothing,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c\},\{2,c\},\{a,2,c\}\}\]
\[\mathcal{P}(B) = \{\varnothing, \{x\}\}\]
Definición
Sea \(\mathcal{P}(\Omega)\) el conjunto formado por todos los subconjuntos de un espacio muestral \(\Omega\), y sea \(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\). Se dice que \(\mathcal{A}\) es una \(\sigma\)-álgebra en \(\Omega\) si cumple con los axiomas:
Axioma 1: \(\Omega \in \mathcal{A}\).
Axioma 2: Si \(A \in \mathcal{A}\), entonces \(\bar{A} \in \mathcal{A}\).
Axioma 3: Si \(A_1, A_2, A_3, \ldots \in \mathcal{A}\), entonces \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{A}\).
Definición
A la dupla \((\Omega, \mathcal{A})\) se le llama espacio medible si \(\Omega \neq \varnothing\) y \(\mathcal{A}\) es una \(\sigma\)-álgebra en \(\Omega\).
Ejemplo
Suponga que un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda. Se puede definir un conjunto de eventos que conforman una \(\sigma\)-álgebra sobre \(\Omega = \{E, C\}\) incluyendo los siguientes elementos:
Puede verificar que el conjunto \(\{\{\;\},\{E\},\{C\},\{E,C\}\}\) cumple con las propiedades de una \(\sigma\)-álgebra, ya que incluye al conjunto \(\Omega\) (axioma 1), es cerrado bajo complemento (axioma 2), y es cerrado bajo uniones numerables (axioma 3).
Ejemplo
Sea un espacio muestral \(\Omega \neq \varnothing\).
a. El conjunto potencia \(\mathcal{P}(\Omega) = \{A \mid A \subseteq \Omega\}\) de \(\Omega\) es la \(\sigma\)-álgebra más grande en \(\Omega\). También se le llama la “\(\sigma\)-álgebra total”.
Note que:
b. El conjunto \(\{\varnothing, \Omega\}\) es la \(\sigma\)-álgebra más pequeña en \(\Omega\). También se le conoce como “\(\sigma\)-álgebra trivial” o “vacía”.
Se le invita a verificar que \(\{\varnothing, \Omega\}\) es una \(\sigma\)-álgebra sobre \(\Omega\).
Definición
Sea \(\mathcal{A}\) una \(\sigma\)-álgebra en \(\Omega\). Se define una probabilidad, o lo que es equivalente, una medida de probabilidad sobre \(\Omega\), a la función \(\displaystyle P:\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R}\) la cual cumple con los axiomas de Kolmogorov:
La cual corresponde a una serie convergente, pues el primer axioma asegura que \(P(A_i) \geq 0\), y el segundo que \(\displaystyle P\!\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \leq P(\Omega) = 1\).
Las siguientes son propiedades de toda medida de probabilidad:
A continuación se describen las demostraciones de las propiedades 1, 3 y 5. Puede desarrollar las respectivas demostraciones de las propiedades 2 y 4 como ejercicio.
1. Para probar que \(P(\varnothing) = 0\), note que:
\[\begin{align} P(\varnothing) &= P(\bar{\Omega}) \\ &= 1 - P(\Omega) \\ &= 1 - 1 \\ &= 0 \end{align}\]
3. Considere \(\Omega = A \cup \bar{A}\), con \(A \neq \varnothing\). Como \(A \cap \bar{A} = \varnothing\), entonces por la propiedad 2:
\[\begin{align} P(A \cup \bar{A}) &= P(\Omega) \\ P(A) + P(\bar{A}) &= 1 \qquad \bigl(A \cap \bar{A} = \varnothing\bigr) \\ P(\bar{A}) &= 1 - P(A) \end{align}\]
5. Como \(A \subseteq B\), se puede escribir \(B = A \cup (B \cap \bar{A})\), donde \(A\) y \(B \cap \bar{A}\) son disjuntos (\(A \cap (B \cap \bar{A}) = \varnothing\)). Por la propiedad 2:
\[\begin{align} P(B) &= P\bigl(A \cup (B \cap \bar{A})\bigr) \\ &= P(A) + P(B \cap \bar{A}) \end{align}\]
Por el Axioma 4, \(P(B \cap \bar{A}) \geq 0\), por lo que se concluye que \(P(A) \leq P(B)\).
Definición
A la terna \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), donde \(\mathcal{A}\) es una \(\sigma\)-álgebra sobre \(\Omega\) y \(P\) es una medida de probabilidad, se le llama espacio de probabilidad. Si \(A \in \mathcal{A}\), al valor \(P(A)\) se le llama la probabilidad de \(A\).
La ley de Laplace es la medida de probabilidad que se emplea con frecuencia para determinar el valor de las probabilidades.
Teorema
Sea \(\Omega \neq \varnothing\) un espacio muestral finito y \(\mathcal F=\mathcal P(\Omega)\). La función \(P:\mathcal F\to[0,1]\) con \[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\] define una medida de probabilidad sobre \((\Omega,\mathcal F)\).
Demostración
Para probar este teorema, se debe definir \(\Omega = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) y
\[p_i = P\bigl(\{x_i\}\bigr) = \frac{|\{x_i\}|}{|\Omega|} = \frac{1}{n}, \quad \forall\, i = 1, 2, 3, \ldots, n.\]
Es claro que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i = 1\), y si \(A \subseteq \Omega\), entonces:
\[\sum_{x_i \in A} p_i = \sum_{x_i \in A} \frac{1}{n} = \frac{1}{n}\sum_{x_i \in A} 1 = \frac{1}{n} \cdot |A| = \frac{|A|}{|\Omega|} = P(A)\]
por lo que se concluye que \(P\) es una medida de probabilidad.
En la demostración anterior, se parte del hecho de que la probabilidad para cada punto muestral es \(\dfrac{1}{n}\), así que la suma de todas esas probabilidades es 1. Posteriormente, para \(A \subseteq \Omega\), se define la suma de las probabilidades de los puntos muestrales contenidos en \(A\) como \(\displaystyle\sum_{x_i \in A} \dfrac{1}{n}\) que, por manipulación algebraica, es igual a \(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{x_i \in A} 1\); luego, \(\displaystyle\sum_{x_i \in A} 1\) es equivalente a \(|A|\). Finalmente, se llega a que \(P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}\).
Definición
Sea \(\Omega\) un conjunto finito no vacío. La función de probabilidad:
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]
definida por \(P:\mathcal{P}(\Omega) \to [0,1]\), se conoce como ley de Laplace, y usualmente se lee como:
\[P(A) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}}\]
Teorema (Principio de inclusión-exclusión):
Para \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) eventos cualesquiera, se cumple que:
\[\begin{align} P\!\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) &= \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - \sum_{i < j} P(A_i \cap A_j) \\ &\quad + \sum_{i < j < k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \cdots \\ &\quad + (-1)^{n+1}\, P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) \end{align}\]
De manera particular, se tiene que para \(A\) y \(B\) eventos cualesquiera, se cumple que:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
Ejemplo
Se lanza un dado equilibrado y se definen los eventos \(A\) y \(B\) como:
¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un número divisible por 3 o sea par?
Solución:
Se tiene que \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), y los resultados de \(A\) y \(B\) son \(A = \{3,6\}\) y \(B = \{2,4,6\}\). Entonces, como \(A \cap B = \{6\}\):
\[P(A) = \frac{\#\text{divisibles por }3}{\text{Total de resultados}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
\[P(B) = \frac{\#\text{pares}}{\text{Total de resultados}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\)