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https://www.acsu.buffalo.edu/~adamcunn/probability/probability.html
De manera intuitiva, la probabilidad puede entenderse como una medida cuantitativa que nos dice que tan favorable es la ocurrencia de un suceso o evento.
Pero a esta definición le falta rigor matemático.
Bernoulli, en su libro El arte de la conjetura (1713), publicó su teorema, el cual proporcionaba el fundamento matemático de las frecuencias relativas con que ocurre un cierto suceso en un juego de azar conforme el juego se repite un gran número de veces.
Simón Laplace (1749–1827), en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), dio valiosos aportes y técnicas aplicadas a la teoría de probabilidad en errores de medición en física y astronomía, en actuarial y en mecánica estadística.
Carl Friedrich Gauss realizó aplicaciones a la teoría de la probabilidad en teoría de los errores de medición, métodos de mínimos cuadrados y distribución normal.
A finales del siglo XIX y principios del XX se desarrolló la axiomatización de la teoría de probabilidad —su desarrollo moderno— con el matemático Andrei Kolmogorov.
Enfoque Clásico.
Enfoque Frecuentista.
Enfoque Subjetivo.
Enfoque Axiomático.
Este enfoque surge de los juegos de azar y presenta tres supuestos importantes:
“Igualmente probables” significa que se espera que ocurran con igual frecuencia en un gran número de repeticiones, en condiciones similares.
Si un suceso puede ocurrir de \(n\) maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables (total de casos posibles), y \(n(A)\) de ellas posee un atributo \(A\) (total de casos favorables), la probabilidad queda determinada por:
\[P(A) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}} = \frac{n(A)}{n}\]
Ejemplo
Se lanza un dado y se desea conocer la probabilidad de obtener un número par.
Existen seis casos posibles al lanzar un dado, y tres de ellos son favorables al evento, por lo que:
\[P(\text{Obtener un número par}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
Este enfoque tiene limitaciones que dificultan, en algunas ocasiones, el cálculo de las probabilidades mediante el cociente de casos favorables sobre casos posibles.
Algunas limitaciones son:
Sea \(A\) un evento en el espacio muestral \(\Omega\), con \(|\Omega| = n\). Se tienen las siguientes propiedades:
La cardinalidad de un conjunto \(A\) se denota por \(card\left(A \right)\), \(n(A)\), o bien \(\left|A \right|\).
El número de casos favorables \(n(A)\) satisface \(0 \leq n(A) \leq n\), ya que:
Dividiendo entre \(n > 0\):
\[0 \leq \frac{n(A)}{n} \leq 1 \implies \boxed{0 \leq P(A) \leq 1} \qquad \blacksquare\]
Todo resultado del experimento pertenece al espacio muestral \(\Omega\), por lo que todos los \(n\) casos son favorables al evento \(\Omega\):
\[n(\Omega) = n\]
Aplicando la definición clásica:
\[P(\Omega) = \frac{n(\Omega)}{n} = \frac{n}{n} = \boxed{1} \qquad \blacksquare\]
El evento imposible \(\emptyset\) no contiene ningún resultado, por lo que \(n(\emptyset) = 0\).
Aplicando la definición clásica:
\[P(\emptyset) = \frac{n(\emptyset)}{n} = \frac{0}{n} = \boxed{0} \qquad \blacksquare\]
Los eventos \(A\) y \(A^c\) son mutuamente excluyentes y su unión es \(\Omega\):
\[A \cup \overline{A} = \Omega \quad \text{y} \quad A \cap \overline{A} = \emptyset\]
Por lo tanto \(n(A) + n(A^c) = n\). Dividiendo entre \(n\):
\[\frac{n(A)}{n} + \frac{n(\overline{A})}{n} = 1\]
\[P(A) + P(\overline{A}) = 1 \implies \boxed{P(\overline{A}) = 1 - P(A)} \qquad \blacksquare\]
Descomponemos \(A \cup B\) en partes mutuamente excluyentes:
\[A \cup B = (A \cap \overline{B}) \;\cup\; (A \cap B) \;\cup\; (B \cap \overline{A})\]
Contando casos y usando que \(A = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B)\), se tiene:
\[n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\]
Dividiendo entre \(n\):
\[\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)} \qquad \blacksquare\]
Nota: se resta \(P(A \cap B)\) porque los elementos de \(A \cap B\) fueron contados dos veces, una en \(P(A)\) y otra en \(P(B)\).
Este enfoque se basa en los resultados empíricos, y se interpreta como la frecuencia relativa de un determinado evento.
Si se obtienen \(n\) observaciones de una misma clase y se encuentra que el evento \(A\) ocurre \(n(A)\) de ellas, la probabilidad de ocurrencia del evento \(A\) queda determinada por la frecuencia relativa de \(A\):
\[f(A) = \frac{n(A)}{n}\]
De forma general, las repeticiones deben realizarse bajo condiciones similares y el número de ellas debe ser grande:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{n(A)}{n} = P(A)\]
Ejemplo
Se desea determinar la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado. Para tal fin, se realiza el experimento de lanzar el dado una cantidad grande de veces bajo condiciones similares; entonces, la frecuencia relativa se aproximará a \(\dfrac{1}{2}\), y se concluirá que:
\[P(\text{obt. número par}) = \frac{1}{2}\]
A pesar de ser razonable intuitivamente, esta interpretación tiene sus limitaciones:
Este enfoque concibe la probabilidad como una medida de la creencia personal de un cierto evento; es decir, cada persona tiene su propio juicio.
Una limitación evidente de este enfoque es que dos personas podrían asignar valores de probabilidad diferentes a un mismo evento.
El enfoque axiomático evita las limitaciones de los enfoques:
mediante un conjunto de axiomas (enfoque matemático).
Este desarrollo axiomático está apoyado en la teoría de conjuntos, la definición de un espacio muestral y cada una de las definiciones y teoremas que se desarrollan en el capítulo.
Un experimento está determinado por la presencia de un conjunto de condiciones, las cuales pueden crearse de manera artificial o se producen independientemente de la voluntad del experimentador. Estos procesos permiten obtener información del objeto (sujeto) de estudio mediante mediciones.
Ejemplos:
Definición
Un experimento se denomina determinista si no hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuando estos son repetidos varias veces con las mismas condiciones iniciales.
El experimento aleatorio es un fenomeno que se puede repetir en condiciones similares, no se puede predecir el resultado del experimeto previamente.
Ejemplo — Experimento determinista
Ejemplo — Experimento aleatorio
Definición
Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral, y se denota por \(\Omega\).
Ejemplos:
Espacio muestral discreto y continuo
El espacio muestral \(\Omega\) se llama discreto si es finito o numerable. Un experimento aleatorio se llama finito (discreto) si su espacio muestral es finito (discreto). El espacio muestral se llama continuo si es un intervalo.
Puntos muestrales
A los elementos del espacio muestral \(\omega \in \Omega\) se les llaman puntos muestrales o eventualidades.
Definición
Un suceso \(A\) asociado a un experimento es un subconjunto del espacio muestral \(\Omega\); es decir, \(A\) es un evento si y solo si \(A \subseteq \Omega\).
Definición
Se define el suceso imposible como aquel suceso que no ocurre nunca, al cual se denota por el conjunto vacío \(\emptyset\), y al suceso seguro como aquel que ocurre siempre, al cual se denota con \(\Omega\).
Ejemplo
Al lanzar un dado, el espacio muestral es \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Si se define el evento \(A\) como: “obtener un número menor o igual a 6”, entonces este es un evento seguro.
Note que: si \(A = \{1,2,3,4,5,6\} = \Omega\), con \(P(A) = 1\).
Ejemplo
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es: \[\Omega = \big\{\{E,E\},\{C,C\},\{E,C\},\{C,E\}\big\}\]
Si se define el evento \(A\) como: “obtener tres escudos”, entonces este es un evento imposible.
Note que: \(A = \emptyset\), con \(P(A) = 0\).
Definición
Un evento simple es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio; es decir, cada uno de los puntos muestrales.
Ejemplo
Al lanzar un dado, el espacio muestral es \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Si se define el evento \(A\) como: “obtener un 4”, entonces \(A = \{4\}\) es un evento simple.
Ejemplo
Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es \(\Omega = \big\{\{E,E\},\{C,C\},\{E,C\},\{C,E\}\big\}\).
Si se define el evento \(A\) como: “obtener dos escudos”, entonces \(A = \{\{E,E\}\}\) es un evento simple.
Definición
Un evento compuesto es un conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio; es decir, un conjunto de eventos simples, por lo que es un subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo
Al lanzar un dado, el espacio muestral es \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Si se define el evento \(A\) como: “obtener un número par”, entonces \(A = \{2,4,6\}\) es un evento compuesto.
Empleando las operaciones de conjuntos con los eventos de \(\Omega\), se pueden obtener otros eventos. Si \(A\) y \(B\) son eventos, entonces:
Complemento de un suceso
Se representa por \(\overline{A}\) o \(A^c\); es el subconjunto de puntos muestrales de \(\Omega\) que no están en \(A\).
Queremos demostrar que el evento “\(A\) pero no \(B\)” coincide con \(A \cap \overline{B}\).
Se demostrará la doble contención: \(A - B \subseteq A \cap \overline{B}\) y \(A \cap \overline{B} \subseteq A - B\).
(\(\subseteq\)) Sea \(\omega \in A - B\). Por definición de diferencia:
\[\omega \in A \quad \text{y} \quad \omega \notin B\]
Como \(\omega \notin B\), entonces \(\omega \in \overline{B}\). Por lo tanto \(\omega \in A\) y \(\omega \in \overline{B}\), es decir:
\[\omega \in A \cap \overline{B}\]
(\(\supseteq\)) Sea \(\omega \in A \cap \overline{B}\). Entonces:
\[\omega \in A \quad \text{y} \quad \omega \in \overline{B} \implies \omega \in A \quad \text{y} \quad \omega \notin B\]
Por definición de diferencia: \(\omega \in A - B\).
Como ambas contenciones se cumplen:
\[\boxed{A - B = A \cap \overline{B}} \qquad \blacksquare\]
Definición
Dos eventos \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes o disjuntos si ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo; es decir, \(A \cap B = \emptyset\).
Ejemplo
Al lanzar un dado, el espacio muestral es \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Si se definen los eventos: - \(A\): “obtener un número par” \(\Rightarrow A = \{2,4,6\}\) - \(B\): “obtener un número impar” \(\Rightarrow B = \{1,3,5\}\)
Entonces \(A \cap B = \emptyset\); es decir, \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes.
Note que: Como \(A \cap B = \emptyset\), se tiene \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\).
Sean \(A,B,C\) tres conjuntos cualesquiera, entonces se cumple que:
\(A\cup \overline{A} = S\)
\(A \cap \overline{A} = \emptyset\)
\(A \cap \emptyset = \emptyset\)
\(A \cup \emptyset = A\)
\(A \cap \Omega = A\)
\(A \cup \Omega = \Omega\)
\(A \cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A \cap C)\) “Leyes Distributivas”
\(A \cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A \cup C)\) “Leyes Distributivas”
\(\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) “Leyes de Morgan”
\(\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) “Leyes de Morgan”
Si A y B son mutuamente excluyentes entonces \(A\cap B = \emptyset\).
Suponga \(\Omega\) como conjunto universo y sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos cualesquiera. Demuestre que:
a) \(A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})\)
b) Si \(B \subseteq A\) entonces \(A = B \cup (A \cap \overline{B})\)